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傳攀器具: 「好朋友」機械原理

Updated: Nov 28, 2018



對任何一個傳統攀登者,「好朋友/friend」或 「Spring Loaded Camming Device (SLCD)/彈簧岩楔」,是不可或缺的器具,這篇短文簡單的介紹它的機械原理。


SLCD 的機械原理其實很單純:主要是它的「凸輪 /cam 或 lobe」形狀,如果注意看,它的凸輪並不是圓形,也不是橢圓,而是趨緩的弧形,這種弧形稱之為「對數螺旋/logarithmic spiral」或「等角螺旋/equiangular spiral」。這種弧形螺旋在大自然中無所不在,譬如象牙、花瓣、葉子、以及貝殼的形狀,其中以鸚鵡螺的曲線最明顯;這種螺旋也發生在我們日常生活中,例如商業設計者常利用所謂的黃金矩形來構圖,黃金矩形也與這種弧形有關,還有存款(如果利息是無時無刻都在累積)。總之,假設某個東西無時無刻都以既定的比率成長,那這種成長就可以用一個對數函數來代表,用圖來表示的話,就是對數螺旋。


這就是一個對數螺旋:


對數/等角螺旋

這個螺旋是不是很像「好朋友」的凸輪?事實上,就是!對數螺旋所以又稱為「等角螺旋」,就是無論在這個弧度上的任何一個切點,α 和 θ 的角度都是一樣的 (α = θ + 90°)。


因為好朋友的凸輪就是對數螺旋的一部份,所以,同一支「好朋友」,如下圖,無論凸輪是張開多一點,還是縮小一點,只要卡到岩壁,與岩壁相接那個切點的角度都是一樣的 (下圖所示為 θ = 13.75°),不會因為凸輪張開的幅度不同而改變。


等角螺旋(一)

而這個「等角螺旋」的等角度 θ,到底有什麼實作上的意義?讓我們看接下來的示意圖:

等角螺旋(二)

只是把上圖中同一個「好朋友」不同的張開幅度變成簡單的‘梯形’。如果把這張示意圖放橫來看,將圖中代表凸輪的橘紅色條塊看作梯子,把上端那條虛線看成牆壁,就如下圖,兩者之間的夾角就是 θ (這裡的 θ = 18°,但不影響說明)。我們都知道,拿一個梯子依靠牆壁,如果梯子與牆壁之間的夾角是在某個範圍之內,梯子是不會滑倒的,而且在這個角度內,無論加多少重量在梯子上,梯子還是不會滑倒,除非那個梯子或者接觸的地面不堪負荷而崩毀。


等角螺旋(三)

如果進一步用簡單的力學原理來說明,如下圖,T 代表「好朋友」的受力,這股力會經由 a 角度 (也就是 θ) 變成 C 傳到岩壁的接觸點上 —— C 就是凸輪所承受的壓力 (compressive force),而 S 則是軸心所承受的剪力 (shear force)。而C這股力量傳到岩壁時,會再經由角度 a 的分力,變成 Ff 和 Fn 兩股力,其中 Ff 就是摩擦力 (frictional force),Fn 則是對岩壁的正向力 (normal force) —— 事實上,Ff (摩擦力) 就是 Fn (正向力) 與凸輪和岩壁的摩擦係數 (µ) 的乘積。這股摩擦力必須和岩壁上往下拉的力量相抗衡,如果摩擦力等於或大於岩壁上向下拉的力量,「好朋友」就不會脫出,而岩壁上向下拉的力量,因為這是平行裂隙,「好朋友」的受力 (T) 被兩邊岩壁平分,所以是 T/2。


「好朋友」凸輪,平行裂隙分力圖

經過簡單計算,可以證明:只要摩擦係數 (µ) 等於或大於 a 角度的正切函數值 tan(a),「好朋友」就不會脫出。


那,岩壁與凸輪的摩擦係數是多少?經過實證,花崗岩與鋁合金的摩擦係數大概是 0.30–0.38 之間,經過正切函數值換算,SLCD 等角螺旋的等角度 a 如果不超過 17°-20°,凸輪就不會滑出。雖然坊間各廠牌出產的 SLCD 的等角螺旋角度不太一樣 —— 最大的是 CCH 所出 Alien 的16° (現在是 FIXE 出產),最小的是 Totem 的13° (但 Totem 的凸輪結構比較特殊,它使用兩個相對的等角螺旋,所以實質上不是等角,但這裡不做進一步討論),Metolius 是13.25°,DMM 以及 Wild Country 都是13.75°,而 Black Diamond 則是15° —— 都沒有超過這個範圍。因為沒有超過,所以無論 SLCD 受力多少,所產生的摩擦力 (Ff) 都會大於岩壁上往下拉的力 (T/2),不會滑出,這就為什麼坊間各廠牌的「好朋友」可以卡住不同大小的裂隙 —— 這是因為都用 ‘等角螺旋’ —— 而且受力後不會滑出 —— 這是因為所採用的「等角」正切函數值小於岩石與凸輪間的摩擦係數 —— 的基本原理。

這個等角(a)越大,凸輪的弧度就越平,可適用的裂隙範圍也就越大,但大角度所造成的正向力會比小角度造成的正向力小。如果摩擦係數為常數,也就是說,大角度所造成的摩擦力會比小角度造成的小。但前面所提的摩擦係數是介於花崗岩與鋁合金之間,不同岩質會有不同的摩擦係數,譬如龍洞不是花崗岩,是砂岩,砂岩的摩擦係數比較低,所以在龍洞,如果「好朋友」受力不大,用小角度的「好朋友」可能會比較好 (可確保「等角」正切函數值小於摩擦係數);但龍洞的砂岩除了摩擦係數比花崗岩低,它的岩質也比較軟,如一定要用大角度的 cam,除了這個角度不能違反上述正切函數值不能小於岩石與凸輪間的摩擦係數原理,因為大角度對岩壁所施正向力會小於小角度的 cam,所以在龍洞使用大角度 cam時,如施比較大的力(如墜落),cam 可能會‘吃’進岩壁,會比較安全。

那,a 有無下限?有的!反向思考 —— 角度越小,可使用裂隙的範圍就越小,這是理由之一;理由之二是,因為角度越小,岩壁所受正向力就越大,岩壁多少會崩壞,若岩壁受力太大,崩壞太多 (即使看不出來),岩壁會變成不規則狀,那就像把梯子架在一個不規則的地面上,萬一崩壞處方向不對,是不穩的,可能會滑倒。因此一般廠商在設定a角度下限時,會以「兩倍力」為原則,換算成角度,即為 14° 左右 —— 也就是說,墜落時藉由「好朋友」傳到任一邊岩壁所造成的破壞力 (正向力) 就被限定在墜落所造成的衝擊力的2倍左右,盡量不要破壞岩壁。這裡值得注意的是,上圖中,Fn = S,也就是說,對岩壁造成的破壞力也是對「好朋友」的軸心造成的破壞力 (剪力),如果這個剪力一邊是2倍,兩邊加起來也就是4倍,這股從岩壁反彈回來對軸心的壓力蠻大的。

那,「好朋友」能不能用在外開裂隙?理論上,只要裂隙的外開角度一邊不大於 a,可以的!下圖中,與上圖一樣的「好朋友」用在一邊岩壁角度為b的外開裂隙,b < a,受力也依然是T。但因為外開,原來的 C 因為角度壓縮 (變的比較「平」),力量變大,成為 C’,但這股變大的力傳到岩壁上時,其「分力條件/angle of force 」並沒有改變 (圖中的灰色圓形部份),這是因為凸輪是等角螺旋,所以在那一個與傾斜岩壁接觸的點,其分力角還是 a,這跟上圖平行裂隙是一樣的;或者這樣說,雖然 C' 變大,所有的分力 —— Ff'、Fn'、T' —— 也都變大,但因為等角度 a 不變,分力條件跟前圖的平行裂隙還是一樣,所以它們之間的「比率」並沒有改變,所以在同樣的摩擦係數之下,「好朋友」依然不會滑出;但一旦 b 大於 a,「好朋友」本身的彈簧就會把凸輪推離岩壁,根本沒有辦法放置。所以,理論上,如果能放置,「好朋友」可以用在外開裂隙。

「好朋友」凸輪,外開裂隙分力

實務上,坊間所有品牌的「好朋友」在外開裂隙可用角度會很有限。主要是因為,如果外開裂隙的角度大到某個程度,即便「好朋友」還是可以放進去卡住 (因為 b < a),但 C' 以及 S' 的力量會變得太大,造成「好朋友」的結構變形、受損而失敗。


用數字來討論:我們已經知道一般「好朋友」的等角大概為 14°,現在假設一個外開裂隙一邊角度為 14° 的一半,也就是 b = 7°,那計算出來對軸心造成的剪力 (S') 可能為 T 的多少倍?—— 計算結果:在這個角度的外開裂隙,一邊將是 4 倍,兩邊合起來是 8 倍!如果我們再假設這個「好朋友」其結構強度已經通過 UIAA 測試,為12kN,這就意味著,如果在平行裂隙,這個「好朋友」的軸心應該可以承受 48kN (提醒:平行裂隙軸心所承受的剪力是墜落衝擊力的 4 倍,12kN 為人體可承受的衝擊力上限,而 UIAA 是用平行裂隙檢測) 。換算回去,在這個一邊為 7° 的外開裂隙,墜落衝擊力+確保者所施之力=「好朋友」 所受合力就不能超過6kN,超過了,這個「好朋友」傳到軸心的破壞力 (S'),會大於 48kN,會變形甚至解體而失敗,簡單的說,小小的 7° 外開可以讓這個「好朋友」承受的墜落衝擊力減少一半以上!

(註:同理,C’的力也會變大,所以凸輪也有可能變形,但我們略過這方面的討論。另,必須用「合力」計算,就是墜落端加上確保端的力,而不能只用墜落衝擊力,因為我們的討論是假設先鋒墜落,而「好朋友」會受力一定是確保者制動墜落者了,若沒有制動住,「好朋友」根本不會受力,一般而言,因為勾環的摩擦力,確保端的受力是墜落端的 2/3,所以合力會是墜落衝擊力的 5/3 倍)

如繼續用「合力」的觀念,再假如外開角度 13°(將近a),那根據計算結果,50kg 的體重即可讓這個「好朋友」的軸心受壓超過 48kN,可能變形而失效,根本不需要墜落!如果我們繼續推算下去,譬如 2.6kN 的墜落衝擊力 (50kg,墜落係數 0.25),那可承受 12kN 衝擊力的「好朋友」就不能放在一邊外開角度超過 8.8° 的裂隙,可能變形而失敗;如果攀登者 60kg,墜落係數 0.3 呢?那就不能超過 7.5°... 總而言之,即使理論可以,實務上,「好朋友」可用的外開裂隙是相當有限的,特別要提的是,0.3 左右的墜落係數在龍洞是很常見的。

以上是用結構力達 12kN 的「好朋友」為基礎計算,那結構力比較低 (就是比較小號) 的「好朋友」呢?可想而知,小號「好朋友」可適用的外開裂隙會變得更有限!而且,以上這些不到 10° 的小角度外開裂隙,肉眼很難判定。當然,當我們討論軸心強度時,都是以能承受的「最低」強度來判斷,而實務上,軸心強度會比理論值高一些,但是,別忘了這樣大的力量不但衝擊軸心,也會衝擊凸輪與岩壁的接觸面,如果岩壁因此而崩落,即使微小的看不出來,如前所述,這會使得凸輪不穩,可能失敗。

所以除非不得已,還是儘量避免在外開裂隙使用「好朋友」。事實上,放置「好朋友」時,需要注意的不是所放置裂隙的大概形狀,而是要特別注意「好朋友」與岩壁接觸的局部地形 (這點就如同放置 nut 一般) —— 譬如,在一個外開裂隙,可以嘗試找到裂隙裡面局部地形大概為平行的地方來放置,或者,反過來說,在一個平行裂隙裡,要小心不要放在局部地形不是平行 (或趨近平行) 之處,等等。


以上討論的都是以「單軸好朋友」為基礎,那「雙軸好朋友」呢?譬如,「雙軸好朋友」適用範圍會不會比同尺寸的「單軸好朋友」大一些?這個問題在 Black Diamond 擁有的雙軸專利到期以後,在越來越多的廠商出產「雙軸好朋友」的情形下,似乎不再像以前那麼被人重視。但,理論上,是的!「雙軸好朋友」的適用範圍是比同尺寸的「單軸好朋友」要大一些 (理論部份這裡略)。但實務上也有其限制,譬如無論單軸或雙軸,每一尺寸的「好朋友」都有其廠商建議的安全使用範圍,一般而言是在凸輪弧線上的 1/4 到 3/4 之間,這也就是 UIAA 測試規範所用的兩個點,所以無論「雙軸好朋友」理論上會比「單軸好朋友」的適用範圍大多少,實際可用的部份只有理論值的一半,並不多,這裡有各廠牌實際測出的值可以參考。

若進一步把「單軸好朋友」與「雙軸好朋友」做全方位比較,最重要的應該是這個 —— 雙軸因為兩軸同時受力,每一軸所受之力比單軸好朋友少,會比較耐用 —— 而且注意,這也意味了如用在外開裂隙,因為可雙軸分力,同樣的墜落衝擊力所造成對軸心的破壞力就沒有單軸那麼強,略增加了可以放置的外開角度(有興趣的同好可算算看可能增加的比率)。但雙軸的「好朋友」比單軸重,價格比單軸貴,而且同尺寸的「好朋友」,雙軸所用的凸輪比單軸大,所以需要比較深的裂隙或者比較大的空間來放置... 等等不同因素和考量,很難判定在實用上,雙軸就一定比單軸具有優勢,一切還是要看實際使用時的各種狀況而定。

以上是有關「好朋友」簡單機械原理以及所延伸出有關受力如何分配/外開裂隙適用與否/單雙軸比較等等的討論,其它「好朋友」一些結構細節,譬如拉動凸輪機制/單雙梗的差異/梗的軟硬度等等... 也都會影響「好朋友」的功能,但影響沒那麼大,各個廠商不同設計也各有優劣,因為篇幅有限,這裡就先略過。


如有興趣多了解一些SLCD 的機械原理,可參考所附資料。 #傳統攀登 #傳攀訓練 #傳攀裝備

參考資料:

  1. Totem Cam – Cam mechanical principles.

  2. Wild Country – The Cam Book.

  3. Spring loaded camming device for rock climbing: analysis and optimization | by Phillip Anuta.

  4. A brief discussion of the engineering principles used in the design of camming devices for rock climbing | by Vaino V. Kodas.

  5. CAMS-A Technical Review | by John Middendorf.

  6. The mathematics of spring loaded camming devices | by Sam Scharenberg.

 

   

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